Всего представлено работ: 242040

«Кладовая талантов»
Международный образовательный центр    

Возникают вопросы? Пишите! Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.




Публикации педагогов


Автор публикации: Седова Ольга Васильевна

Приложения производной

скачать документ

Вернуться назад

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАНГосударственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Уфимский колледж отраслевых технологийМетодическая разработка открытого урока по теме «Практическое применение производной». Разработал: преподаватель математики Седова О.В.Согласовано:Заведующий методическим кабинетом_____________ О.Ф. Решетнева «______»_____________2018г.Рассмотрено на заседании предметно-цикловой комиссии математических и общих естественно-научных дисциплин Протокол №______ от _________2018г.Председатель ЦК_______________ Р.Р. Бухарметова Содержание3679Методическое обоснование………………………………….План занятия………………………………………………….Содержание занятия………………………………………….Литература и Интернет-источники….………………………Приложение 1……………………………………………….. 10Приложение 2…………………………………………………12Методическое обоснованиеДисциплина: МатематикаТема: Практическое применение производнойТип занятия: комбинированноеВид занятия: лекцияЦели:дидактические:- сформировать и закрепить основные понятия темы;- рассмотреть методику решения задач прикладного характера, выделить этапы в решении прикладных задач;- добиться усвоения учащимися осознанных сведений о понятии производной, ее геометрическом и физическом смысле;- расширить знания, сферу, область применения знаний, умений и навыков;- научить самостоятельности анализа, выбору решений;- научить четко выражать свою мысль;- показать взаимосвязь изучаемого материала с различными областями наук.развивающие:- развивать логическое мышление и математическое моделирование;- развивать умение находить нужную литературу, обрабатывать информацию; - развивать умение выполнять и оформлять исследовательскую работу; - развивать эмоциональную сферу личности;- развивать умение наблюдать и умение делать выводы; - развивать навыки публичного выступления; - развивать умение применения знаний из других дисциплин; -развивать общий кругозор.воспитательные:- привить интерес к дисциплине; - обучать навыкам планирования деятельности; - формировать умения и навыки самообразования;- создать атмосферу эмоционального подъёма;- воспитывать чувство ответственности и сопереживания.Планируемые результаты обученияСтуденты должны:иметь представление: о применении производной в различных областях науки и окружающей действительности, алгоритме нахождения наибольшего и наименьшего значений функций как универсального метода решения различных задач на оптимизацию.знать: геометрический и физический смысл производной, правило нахождения экстремумов функции, схему решения задач на оптимизацию. уметь: исследовать функцию на экстремум с помощью первой и второй производной, делать переход от реальных ситуаций к математическим моделям, решать задачи практического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной.В результате проведения занятия формируются следующие ключевые компетенции выпускника:учебно-познавательные – изучить схему решения задач на оптимизацию,проявлять познавательную активность, определить науки и профессии, в которых производная находит практическое применение, уметь видеть проблему и наметить пути ее решения, применять базовые знания для решения конкретной проблемы, развивать креативные способности, логическое мышление;информационные - осуществлять поиск и работать с большим объемом информации, использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;коммуникативные - уметь логично, научно и доступно излагать свои мысли, математически грамотно говорить;социальные - приобретать навыки работы в команде: умения отстаивать свою точку зрения, считаться с чужим мнением, проводить объективную рефлексию.Обеспечение занятия: - опорный конспект; -модель «Ромашка»; - игра «брейн-ринг»;- карточки-звездочки;- карточки с дифференцированными заданиями; - мультимедийный проектор с экраном; - ноутбук; - презентации.Межпредметные связи: - физика;- история;- география;- биология;- информатика;- культура речи;- химия;- основы экономики.Внутрипредметные связи: - аналитическая геометрия; - тригонометрия; - геометрия.Основные методы, применяемые на занятии: - объяснительно-иллюстративный; - эвристический; - проблемный. Ход занятияЭтапы занятияIIIIII1234567Минуты248477562Время2614182532374345План занятияI. Организационная часть.II.Основная часть.1. Повторение основных понятий с помощью модели «Ромашка».2. Решение примеров в игре «Брейн-ринг».3. Защита презентаций на геометрический и физический смысл производной.4. Схема решения задач на оптимизацию.5. Задача с использованием домашней заготовки.6. Задача на самостоятельное решение.7. Защита презентаций о применении производной в различных областях науки.III. Подведение итогов.Содержание занятияI. Организационная часть.Проверка аудитории к началу занятия. Приветствие учащихся и приглашенных гостей. Идет объявление темы, целей урока и рассказ о том, как будет организована работа в течение всего занятия.II. Основная часть.Повторение изученного материалаВ начале занятия для обобщения и систематизации знаний по пройденному материалу проводится устный опрос. Студенты отвечают на вопросы и за правильные ответы они получают заранее приготовленные красные звездочки.Вопросы:Что называется производной функции?В чем заключается геометрический смысл производной?В чем состоит физический смысл первой производной?В чем состоит физический смысл второй производной?Какая точка называется точкой максимума?Какая точка называется точкой минимума?Как находятся точки экстремума?Как находятся наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке?Проведение игры «Брейн-ринг» . Студентам предлагаются задания вычислительного характера по 3 категориям: «Лови ошибку», «Горячие гонки», «Экстремальные точки». (см. Приложение 1).Идет проверка умений решать примеры на вычисление первой и второй производной, как элементарной, так и сложной функции, нахождение точек экстремумов. Студенты решают примеры, показывают преподавателю и за правильные ответы также продолжают получать звездочки. Решение всех примеров оформляется на доске.Защита презентаций.Студенты представляют свои работы по темам «Геометрический смысл производной», «Физический смысл производной», решают задачи на доске. Схема решения задач на оптимизацию.Рассматривается легенда-задача Дидоны. Преподаватель объясняет почему среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей. Далее рассматривается схема решения задач на оптимизацию.Задача с использованием домашней заготовки.Организуется коллективное обсуждение условия задачи. Студенты отвечают на вопросы преподавателя, а затем, основываясь на прежние знания, составляют модель задачи, работают с ней и в конце делают критическое осмысление полученного результата. Задача на самостоятельное решение.После этого решается задача на практическое применение производной с использованием всех этапов работы с математической моделью.Защита презентаций о применении производной в различных областях науки.На этом этапе занятия студенты представляют свои презентации, показывая применение производной в различных областях науки и окружающей действительности.III. Подведение итогов.В конце урока преподаватель подводит итоги всей работы, говорит о том, достигли или нет поставленных целей, отмечает работу активных студентов, обращает внимание на какие-то отдельные этапы урока. Выдается домашнее задание. Пока студенты переписывают домашнее задание преподаватель выставляет оценки, учитывая количество набранных студентами звездочек.Преподаватель благодарит всех за присутствие и работу на уроке.Литература и Интернет-источникиКолягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: учебное пособие: В 2 кн. Кн.1.- 4-е изд., испр. и доп. – М.: РИА «Новая волна», 2008. – 656с.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб. Заведении – 10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008. – 495с.Электронный ресурс «Вся математика в одном месте». Форма доступа: http://www.allmath.ruЭлектронный ресурс «Математика в помощь школьнику и студенту». Форма доступа: http://www.mathtest.ruПриложение 1Задания для «Брейн-ринга».Категория «Экстремальные точки»Найти точки экстремумаОтвет: x=2- точка минимума Найти точки экстремума и значения функции в этих точкахОтвет: х=0 – точка максимума; у(0)=0 х=2 – точка минимума; у(2)= -43.Имеет ли точку экстремума функция Ответ: нет.Категория «Горячие гонки»Найти в точке =1, если Ответ: Найти Ответ: Найти Ответ: Категория «Лови ошибку» Найти ошибку: Ответ: Найти ошибку: Ответ: Найти ошибку: Ответ: Приложение 2Домашнее задание На отметку “3”Для функции f(х)=х2*(6-х) найти наименьшее значение на отрезке [0;6]2.Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2сНа отметку “4”Найти силу, действующую на материальную точку массой З кг, движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t3 - 4,5t2 при t=2c? 2. Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.На отметку “5” Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с течением времени по закону q(t)=0,4t + 3t2 + 1 Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?.Процветание,  могущество и падение Карфагена Со временем Карфаген превратился в процветающее и могучее государство. Финикийцы принесли сюда свой высокий уровень культуры, ведь они славились как отличные ремесленники, ткачи и мастера гончарного дела. Их изделия из серебра и бронзы высоко ценились на всём Средиземноморье. Именно они заложили первые сады с фруктовыми деревьями и обширные оливковые рощи. Тунис и теперь славится своими оливковыми насаждениями. Именно финикийцы придумали алфавит из 22 букв, составивший основу латыни и греческого письма, им пользуются многие страны Европы и поныне. Карфагенские мастера строили для сохранения воды каменные цистерны, качая воду из артезианских скважин, строили и многоэтажные дома. Их стекло было известно во всем древнем мире, а пурпурные ткани очень высоко ценились. Слава о мастерстве, силе и процветании Карфагена не могла не задеть гонор и гордость римлян, которые к тому времени уже приобрели могущество. Соперничество между двумя странами закончилось полным уничтожением Карфагена римлянами в Третьей Пунической войне. Город был разграблен и полностью сметен, а в добавку ещё и распахан римскими плугами. Надменные римляне ещё посыпали землю и солью, чтобы город никогда не возродился. Ходили слухи о несметных богатствах, спрятанных где-то здесь , и долгое время грабители рылись в пустом городе в поисках кладов. Раскопки и руины С 1953 года, на протяжении 10 лет, велись тщательные раскопки, и в районе Бирсы, под большим слоем золы, был раскопан целый квартал Карфагена. Это наследие бывшего могучего государства теперь оберегает Тунисский правительственный комитет. Узнав так много интересного о Карфагене, наша группа с почтением ступила на эту страдальческую землю. Руины древнего города можно было увидеть на участке, что раскинулся на 6 километров. На одном из участков увидели одичитайте больше на: http://poputchik5.ru/karfagen-istoriya-sozdaniya/Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, "сколько занимает воловья шкура". Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а впоследствии был построен и город. Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 кв. м., а ширина ремешков, на которые Дидона ее разрезала, 1 мм.Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью. Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы? A B C D AC+CD+DB=L x x L - 2x Переведём задачу на язык математики. S = x(L-2x) Y = x(L-2x) → max 0,25L + — max Данный прямоугольник является половиной квадрата, длинной стороной примыкающей к берегу моря. 2. Y′ = 0 ; L = 4x x = 0,25L 3. 4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L Y = Lx – 2xІ Y′ = L Пояснение. Иллюстрация, аналогичная предыдущей, в случае замены четырехугольника на равнобедренный треугольник; но точка С здесь движется сверху вниз. Чертеж иллюстрирует задачу Дидоны в случае, если береговая линия - прямая, а участок, ограниченный воловьими ремешками - равнобедренный треугольник. Теперь, наконец, нетрудно заметить, что и в первом, и во втором случае оптимальная фигура – половинка квадрата. Это приводит к мысли достроить вторую половину: Пояснение. Если отразить наилучшие траектории для двух рассмотренных случаев относительно береговой линии, в обоих случаях получим квадрат. Это может навести на мысль о простом доказательстве полученных гипотез, если знать оптимальные свойства квадрата для задачи Зенодора в случаях прямоугольника и ромба.Итак, сколько же земли можно окружить бычьей шкурой? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно правильно ма- тематически поставить задачу. Современный математик скажет так: Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную дли- ну, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Эту задачу и называют задачей Дидоны или классической изо- периметрической задачей. (Изопериметрические фигуры — это фигуры, имеющие одинаковый периметр.) Однако затем, в отличие от Ивана Грозного, Дидона столкнулась с еще одной – геометрической – задачей: участок земли какой формы следовало бы окружить веревкой заданной длины, чтобы получить наибольшую площадь для будущего города. Если строить на открытом пространстве, ответ бы давал, конечно круг : но на берегу моря задача меняется. Попробуйте решить ее в предположении, что берег представляет собой прямую линию.На рис. 1 изображены несколько фигур, образованных вдоль условного берега АА веревкой одинаковой длины. Какая фигура имеет наибольшую площадь?Когда этот вопрос задавался на уроках по техническому творчеству, ответы были разные. Большинство слушателей интуитивно приходило к правильному ответу. Но нужно уметь не только угадывать, но и приводить доказательства в пользу своей догадки. Как это сделать? Здесь может помочь прием, который известный математик Д.Пойа называет «видоизменением задачи».Вам не удается сразу решить задачу, которая поставлена перед вами? Попробуйте видоизменить ее. Если нельзя с полной определенность ничего сказать о данных фигурах, то нельзя ли требуемое заключение сделать об их половинках ( на рис.1 они заштрихованы). Нельзя ли необходимое заключение получить об удвоенных площадях данных фигур, полученных как бы отражением их в зеркале (рис. 2).На рис.2 наибольшую площадь (при равных параметрах) имеет фигура, ограниченная окружностью. Следовательно, решение задачи Дидоны – полукруг с центром на берегу моря.По-видимому, эта идея не вызвала энтузиазма у местных жителей, но все же Дидоне удалось уговорить их предводителя Ярба, и он неосторожно согласился уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей шкурой». Не сразу понял простодушный Ярб хитрость и коварство финикиянки. Разрезав шкуру на тонкие полоски, Дидона связала их в один длинный ремень и, окружив им значительную территорию, заложила на ней город Карфаген. В память об этой истории карфагенская цитадель получила название Бирса (на языке жителей Карфагена это слово означает «шкура»). Все эти события легенда относит к 825 (или 814) г. до н. э.Как может звучать здесь задача оптимизации?Требуется указать оптимальную форму участка земли, который при заданной длине периметра L имеет наибольшую площадь S. Ясно, что это та же самая классическая изопериметрическая задача. Ее решением является круг.
X

x